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白矮星大概有多大？《张朝阳的物理课》计算白矮星的半径

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张朝阳还通过图示说明了在什么情况下电子简并压会无法抵御引力的压缩，从而使得恒星最终演化成中子星或者黑洞。最后，张朝阳分析了一个太阳质量的白矮星其电子所占据的空间远远大于原子核尺寸，从而肯定了一个太阳质量的白矮星确实可以稳定存在。

推导星球的流体静平衡方程估算白矮星中心压强

为了分析白矮星的压强，张朝阳介绍了在以前的直播课中讲解过的流体静平衡方程。星球的流体静平衡方程是描述在平衡状态下星球内部压强如何随半径变化的。为了得到这个方程，可以在星球内部取一个沿径向的柱体微元，假设它的底面积是dS，高是dr，微元到星球中心的距离是r。在径向方向，微元受到三个力的作用：星球内部物质对微元的引力、微元上下底面受到的压力。还需要知道的是，均匀球壳对内部是没有引力作用的，因此不用考虑距离中心大于r的物质都微元的引力。

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设微元上底面压强是(P+dP)，下底面压强是P，取沿径向指向外的方向为正方面，前述三个力满足的平衡条件为

其中ρ(r)是距离中心r处的密度，M(r)是距离中心小于r的物质重量。上式可以化简为

所以

这就是星球的流体静平衡方程。如果星球内部物质所提供的压强小于这个方程给出来的压强，那么这个星球会被引力进一步压缩；如果内部物质提供的压强大于这个方程给出来的压强，那么这个星球会反抗引力的压缩而向外膨胀。如果星球最后达到了平衡，其内部压强分布必定满足上式。不过需要强调的是，上述方程没有考虑广义相对论的修正，因此不适用于那种具有极强引力的天体，比如中子星。对于白矮星，上述方程是可以使用的。

（张朝阳推导流体静平衡方程）

在星球表面，因为没有外部的力压迫星球表面物质，因此表面的压强P(R)=0，这里的R是白矮星半径。当半径r趋向于零时，物质密度ρ(r)趋向于白矮星中心密度ρ(0)，它是一个有限值。另一方面，当r趋向于零时，有

因此有

这说明压强分布在白矮星中心处的梯度为0，同时也可以知道，压强在中心处具有有限值P(0)。所以，随着半径r从零变化到R，压强从一个有限值P(0)缓慢下降了一小段，然后再较快速地下降到0。接下来估算一下半径r=R/2处的压强随半径的变化率，假设白矮星中心处的压强为Pc，那么有

另一方面，根据流体静平衡方程，有

由于球体体积正比于半径的三次方，因此如果白矮星密度均匀的话，M(R/2)会等于M/8。但是，因为星球的密度一般都不是均匀的，而是内大外小，因此M(R/2)往往大于M/8。在这里，张朝阳将M(R/2)估算为M/3。然后，ρ(R/2)约等于星球的平均密度，这样就可以得到

综合前面的结果可以得到

化简可得

这就是白矮星中心处的压强估算值。

（张朝阳估算白矮星中心压强）

分析白矮星中心处的电子简并压求白矮星半径

在之前的物理直播课中，张朝阳推导了电子气体在近零温的情况下的简并压为

其中，n是电子的数密度，m_e是电子质量。

假设白矮星中心处的电子数密度是平均电子数密度的α倍，忽略白矮星中的非氢原子核，那么白矮星中的电子数约等于质子数，所以可以用总质量除以质子质量mp得到总的电子数。所以，白矮星中心处的电子数密度为

将其代入电子气体的简并压公式，可以得到中心处电子简并压为

又因为

所以有

设满足流体静平衡时的中心压强为Pg，根据前面的估计，有

当质量M固定时，Pg与Pd随半径R的变化如下图所示：

可见，Pg与Pd都随着半径R增大而减小，但是Pd下降得更加迅速。Pg与Pd两者的曲线存在一个交点，对应半径R0。当R<R0时，Pd>Pg，换言之，中心处的电子简并压大于维持流体静平衡所需的中心压强，因此这个白矮星会被电子简并压推着往外膨胀，从而R会变大；当R>R0时，Pd<Pg，因此中心处的电子简并压小于维持流体静平衡所需的中心压强，这时候电子简并压无法承受引力的压缩，因此白矮星会进一步缩小，从而R会变小。从这里的分析可以知道，白矮星最终会稳定在R=R0处，因此Pg与Pd两曲线交点对应的半径R0就是白矮星的半径，由Pd与Pg的表达式可得R0满足的条件为

所以

这就是白矮星半径的估算值。

分析一个太阳质量的白矮星的情况

根据前面估算的白矮星半径的表达式，可以知道，白矮星质量越大，其半径越小。当M大到一定程度时，白矮星无论被压缩到多小，其中的电子气体都无法提供足够的简并压用以抵抗引力的压缩（这时候需要使用相对论情况下的电子简并压公式来分析），最终白矮星会被引力不断地压缩，直至每个电子所占据的空间很小，电子会与质子反应变成中子，最终这颗白矮星会变成一个中子星，并依靠中子简并压来与引力达到平衡（如果初始质量很大以至于中子简并压也无法抵御引力，那么它将会变成黑洞）。白矮星的质量上限大约为1.44个太阳质量，最初由钱德拉塞卡计算得到。

既然钱德拉塞卡极限是1.44个太阳质量，那么一个太阳质量的白矮星是可以稳定存在的，张朝阳用实际计算分析了一个太阳质量的情况。

假设白矮星中心的电子数密度是平均电子数密度的两倍，那么α=2，因此