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设微元上底面压强是(P+dP)，下底面压强是P，取沿径向指向外的方向为正方面，前述三个力满足的平衡条件为

其中ρ(r)是距离中心r处的密度，M(r)是距离中心小于r的物质重量。上式可以化简为

所以

这就是星球的流体静平衡方程。如果星球内部物质所提供的压强小于这个方程给出来的压强，那么这个星球会被引力进一步压缩；如果内部物质提供的压强大于这个方程给出来的压强，那么这个星球会反抗引力的压缩而向外膨胀。如果星球最后达到了平衡，其内部压强分布必定满足上式。不过需要强调的是，上述方程没有考虑广义相对论的修正，因此不适用于那种具有极强引力的天体，比如中子星。对于白矮星，上述方程是可以使用的。

（张朝阳推导流体静平衡方程）

在星球表面，因为没有外部的力压迫星球表面物质，因此表面的压强P(R)=0，这里的R是白矮星半径。当半径r趋向于零时，物质密度ρ(r)趋向于白矮星中心密度ρ(0)，它是一个有限值。另一方面，当r趋向于零时，有

因此有

这说明压强分布在白矮星中心处的梯度为0，同时也可以知道，压强在中心处具有有限值P(0)。所以，随着半径r从零变化到R，压强从一个有限值P(0)缓慢下降了一小段，然后再较快速地下降到0。接下来估算一下半径r=R/2处的压强随半径的变化率，假设白矮星中心处的压强为Pc，那么有

另一方面，根据流体静平衡方程，有

由于球体体积正比于半径的三次方，因此如果白矮星密度均匀的话，M(R/2)会等于M/8。但是，因为星球的密度一般都不是均匀的，而是内大外小，因此M(R/2)往往大于M/8。在这里，张朝阳将M(R/2)估算为M/3。然后，ρ(R/2)约等于星球的平均密度，这样就可以得到

综合前面的结果可以得到

化简可得

这就是白矮星中心处的压强估算值。

（张朝阳估算白矮星中心压强）

分析白矮星中心处的电子简并压 求白矮星半径

在之前的物理直播课中，张朝阳推导了电子气体在近零温的情况下的简并压为

其中，n是电子的数密度，m_e是电子质量。

假设白矮星中心处的电子数密度是平均电子数密度的α倍，忽略白矮星中的非氢原子核，那么白矮星中的电子数约等于质子数，所以可以用总质量除以质子质量mp得到总的电子数。所以，白矮星中心处的电子数密度为

将其代入电子气体的简并压公式，可以得到中心处电子简并压为

又因为

所以有

设满足流体静平衡时的中心压强为Pg，根据前面的估计，有

当质量M固定时，Pg与Pd随半径R的变化如下图所示：

可见，Pg与Pd都随着半径R增大而减小，但是Pd下降得更加迅速。Pg与Pd两者的曲线存在一个交点，对应半径R0。当R<R0时，Pd>Pg，换言之，中心处的电子简并压大于维持流体静平衡所需的中心压强，因此这个白矮星会被电子简并压推着往外膨胀，从而R会变大；当R>R0时，Pd<Pg，因此中心处的电子简并压小于维持流体静平衡所需的中心压强，这时候电子简并压无法承受引力的压缩，因此白矮星会进一步缩小，从而R会变小。从这里的分析可以知道，白矮星最终会稳定在R=R0处，因此Pg与Pd两曲线交点对应的半径R0就是白矮星的半径，由Pd与Pg的表达式可得R0满足的条件为

所以

这就是白矮星半径的估算值。

分析一个太阳质量的白矮星的情况

根据前面估算的白矮星半径的表达式，可以知道，白矮星质量越大，其半径越小。当M大到一定程度时，白矮星无论被压缩到多小，其中的电子气体都无法提供足够的简并压用以抵抗引力的压缩（这时候需要使用相对论情况下的电子简并压公式来分析），最终白矮星会被引力不断地压缩，直至每个电子所占据的空间很小，电子会与质子反应变成中子，最终这颗白矮星会变成一个中子星，并依靠中子简并压来与引力达到平衡（如果初始质量很大以至于中子简并压也无法抵御引力，那么它将会变成黑洞）。白矮星的质量上限大约为1.44个太阳质量，最初由钱德拉塞卡计算得到。

既然钱德拉塞卡极限是1.44个太阳质量，那么一个太阳质量的白矮星是可以稳定存在的，张朝阳用实际计算分析了一个太阳质量的情况。

假设白矮星中心的电子数密度是平均电子数密度的两倍，那么α=2，因此

此处略写了β的单位，只需要知道上式的单位都使用国际单位制的基本单位即可，没有k、m这些表示量级的前缀（kg除外，因为千克本身是一个基本单位，克是导出单位）。

因此一个太阳质量的白矮星的半径约为

此估算结果与实际结果比较接近，因此前面的估算是合理的。

一个太阳质量的白矮星的平均电子数密度约为

所以单个电子所占据的空间尺度约为

原子核的尺度在fm量级，因此单个电子所占据的空间远大于原子核的大小，因此电子打到核子的概率非常小，所以电子与质子反应成为中子（并释放出一个中微子）的概率几乎可以忽略不记。从这个角度来看，一个太阳质量的白矮星是稳定的。

（张朝阳计算一个太阳质量的白矮星情况）

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